电工基础：RC电路的零状态响应与全响应（42）
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动态电路，对于大多数人而言，其难点在于微分方程的求解与理解，我上次就提到过，这些微分方程的过程其实我们不必要深究，但是我们要理解这个方程解的含义，例如上次所学的“RC电路的零输入响应”中的积分常数，就是电容的初始电压值。区别于RC电路的零输入响应，我们这次接着学习RC电路的零状态响应与全响应。
零状态响应，是指电路在零初始状态下(即储能元件的初始能量为零)，仅由外加电源激励所产生的电路响应。而零输入响应是指动态电路中无外施激励电源，输入信号为零，仅由动态元件(电感元件或电容元件)的初始储能所产生的响应。
图42-1
上图42-1所示RC串联电路，开关K闭合前电路处于零初始状态，也就是电容电压为零，uC(0-)=0。在t=0时刻，开关K闭合，电路接入直流电压源US。根据回路电压列出KVL方程，可以得到，电阻电压加上电容电压等于电源电压。
根据VCR：uR=iR、i=CduC/dt，代入KVL方程得到一阶线性非齐次方程，如图42-1所示。所谓非齐次，是指等号右边不为零，而是等于US。区别于我们上次所学的RC电路的零输入响应，即“所谓一阶，是指方程中关于uC的导数是一阶导数(duC/dt)，在电路中表现为仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的电路;齐次在这里指的是等号右边为零。”
一阶线性非齐次方程的求解，我们直接套用公式，由特解和对应的齐次方程的通解两个分量组成，如图42-2所示。
图42-2
所谓方程的通解，不同的微分方程具有不同的形式，例如我们上次学习中遇到的一阶齐次微分方程，方程的通解为uC =Aept。这是因为对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，就称为通解。而特解是这个方程的所有解当中的某一个，为已知数。
图42-3
我们求解图42-2中的方程，先求其特解，如图42-3所示，特解的求解相对简单，因为它是一个已知数，直接代入方程即可。常数的微分为零，求出特解即为US;而齐次方程的通解，我们在上一次也已经学习过，结合时间常数τ，可以得出特解的公式。后得出非齐次方程的通解如图42-3所示。
现在通解公式中只有一个未知数A,我们代入电容电压t=0 时的初始值uC(0 )=uC(0-)=0，可以求出A=-US。为什么代入初始值呢?曹老师在《电工基础》中也提到，求积分常数A时，可以找t等于某一时刻时的电容电压值代入通解公式，比较容易计算的时间有t=0 时刻和t=∞时刻，那为什么不是选t=∞呢?这是因为t=∞时，Ae-t/τ趋于零，此时计算A无意义。
图42-4
终，我们就可以得到RC电路的零状态响应的电容电压、电路电流的解如图42-4所示。画出电容定压和电流的变化规律，可以看到，电容电压uC以指数形式趋近于它的终恒定值US，当电容电压达到恒定值US后，电压和电流不再变化，此时电容相当于开路，电流为零。此时电路达到稳定状态，简称稳态，所以把电容电压的特解部分称为稳态分量，对应齐次方程的通解部分称为暂态(瞬态)分量。结合我们上次所学的RC电路的零输入响应，可以得出，暂态分量按指数规律衰减，其变化规律取决于特征根(或者说取决于时间常数τ)。
知道了RC电路的零输入响应与零状态响应，接下来学习RC电路的全响应就简单多了。所谓全响应是指当一个非零初始状态的一阶电路(只有一个动态元件)受到外电源激励时，电路的响应。图42-5所示RC串联电路，电容在换路前已充有一定能量，其电压为U0。
图42-5
显然，RC串联电路的全响应和零状态响应之间只差了一个初始值。全响应的方程解如图42-5所示，和图42-4相比较，可以发现，当图42-5中的U0=0时，就变成了图42-4中的结果。其实从另一个角度思考，根据叠加定理，全响应的解恰好是的等于零输入响应的解 零状态响应的解。
图42-6
如图42-6所示，全响应可以分解为零状态响应和零输入响应，也可以分解为瞬态分量和稳态分量，但不管怎么分解，都不过是从不同角度去分析全响应的。简而言之，全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。所以可以利用三要素法求解一阶线性电路微分方程。
在直流电源激励下，若一阶动态电路的初始值为f(0 )，特解为稳态解f(∞)，时间常数为τ，则全响应如图42-7所示。只要知道f(0 )、f(∞)和τ这三个要素，就可以根据图42-7的式子直接写出直流激励下一阶电路的全响应。
图42-7
RC电路的零状态响应曲线的起点是零点，类似的，全响应的曲线又是怎样的呢?大家可以自行思考，尝试画一下。
利用三要素法求解RC电路的全响应，主要是计算三要素，初始值我们之间也已经学过了，时间常数完全取决于电路的R和C，电阻的计算可以通过电阻的等效变换计算，后是稳态值，因为电路达到稳态时电容相当于开路，根据这个特性可以很快地算出稳态值。
RC动态电路的响应，我们也已经学完了，在《电工基础》课程中，曹老师还详细地讲解了几道习题，希望大家有机会就同听一下。我们下次继续学习RL电路的各种相应。
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